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HDU 5728 PowMod (16多校第一场)

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题意

$k=\sum_{i=1}^{m} \varphi (i*n)\ mod\ 1000000007$
$n$ is a square-free number. 一个无平方因子数,质因子的指数是1
$\varphi $ is the Euler’s totient function.

find: $ans=k^{k^{k^{k^{…^k}}}}\ mod \ p$

分析

  • 这题看题解看了老半天
    > - 第一步
    计算每一个$p _j$对n的贡献得出:$f(n,m)=ϕ(pj)∗f(\frac n{p _j},m)+f(n,\frac m {p _j})$

    • 第二步
      利用上面公式不断递归得出k的值,递归终点是f(1,y)或者f(x,1)以及f(x,0);
    • 第三步
      利用公式$a ^b %p=a ^{b % ϕ(p)+ϕ(p) }%p$,一直递归到p=0

  • 附送线性筛法传送门

  • 欧拉函数是积性函数,给出一些欧拉函数性质
    - 设a为N的质因数
    若**(N%a == 0 && (N / a) % a == 0)**
    则有E(N)=E(N / a) * a
    若**(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) **
    则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)
    - 当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
    - 若n是质数p的k次幂
    φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)
    因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
    - 若m,n互质
    φ(mn)=φ(m)φ(n)

  • 欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

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/*************************************************************************
    > File Name: f.cpp
    > Author: liangxianfeng
    > Mail:   liangxianfeng96@qq.com
    > Created Time: 2016年07月22日 星期五 15时04分33秒
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define rep(i,n) for(int i =0; i < n; ++i)
#define CLR(x) memset(x,0,sizeof x)
#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << " ";
#define prln(x) cout << #x << " = " << x <<  endl; 
const int maxn = 1e7+5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int phi[maxn], prime[maxn];
const int MOD = 1e9+7;
bool vis[maxn];
int pt;
ll sum[maxn];
void init(){
    int k = 0;
    pt = 0;

    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn; ++i){
        if(!vis[i]){
            phi[i] = i-1;
            prime[pt++] = i;
            //prln(i);
            //if(i>100) break;
        }
        for(int j = 0; j < pt ; ++j){
            k = prime[j]*i;
            if(k>=maxn) break;
            vis[k] = true;
            if(i%prime[j] == 0){
                phi[k] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else{
                phi[k] = phi[i] * (prime[j]-1);
            }
        }
    }
    sum[0] = 0;
    for(int i = 1; i < maxn; ++i){
        sum[i] = (sum[i-1] + phi[i])%MOD;
    }
}
ll getans(int n, int m){
    if(n == 1) return sum[m];
    if(m == 1) return phi[n];
    if(m < 1) return 0;
    for(int i = 0; i < pt; ++i){
        if(n%prime[i] == 0){
            return ((prime[i]-1)*getans(n/prime[i], m)%MOD + getans(n, m/prime[i]))%MOD;
        }
    }
}
ll ret(ll x, ll y, int p){
    ll ans = 1;
    x%=p;
    //prln(p);
    while(y){
        if(y&1)ans = ans*x%p;
        //pr(x);pr(y);pr(ans);prln(MOD);
        x = x*x%p;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll getpow(ll k, int p){
    if(p == 1) return 0;
    ll tmp = getpow(k, phi[p]);
    return ret(k, tmp+phi[p], p);
}
int main(){
#ifdef LOCAL
	freopen("/home/zeroxf/桌面/in.txt","r",stdin);
	//freopen("/home/zeroxf/桌面/out.txt","w",stdout);
#endif
    init();
    int n, m, p;
    while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &p) != EOF){
        ll k = getans(n,m);
        printf("%lld\n",getpow(k,p));
    }
	return 0;
}